Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，其右焦點F₂與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與F₂構成正三角形．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的中心作一條直線與其相交于P，Q兩點，當四邊形PF₁QF₂面積最大時，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線的焦點坐標為，故，由短軸的兩個端點與F₂構成正三角形，知a=2b，由此能夠導出橢圓的方程．
（2）設P點坐標為（x，y），由橢圓的對稱性知，=，當四邊形PF₁QF₂面積最大時，P，Q兩點分別位于短軸兩個端點，由對稱性能夠導出的值．
解答：解：（1）由題，拋物線的焦點坐標為，故…（2分）
又因為短軸的兩個端點與F₂構成正三角形，所以a=2b，又a²=b²+c²得a=2，b=1
所以橢圓的方程為…（7分）
（2）設P點坐標為（x，y），由橢圓的對稱性知，=
當四邊形PF₁QF₂面積最大時，P，Q兩點分別位于短軸兩個端點，
由對稱性不妨設P（0，1）…（10分）
又則
所以…（16分）
點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．