Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是邊長為a的正三角形，二面角P-AD-B為直二面角，ABCD是矩形，E是AB中點，PC與底面ABCD成30°角．
（I）求二面角P-EC-D的大小；
（II）求D點到平面PEC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD中點F，連PF，根據勾股定理可知FE⊥EC，根據二面角平面角的定義可知∠PEF就是其所求二面角的平面角在直角三角形PEF中求出此角即可求得二面角P-EC-D的大小；
（II）設D點到平面的距離為h，然后利用等體積法V_D-PCE=V_P-CDE建立關系式解之即可．
解答：解：（1）取AD中點F，連PF，
則PF=a且PF⊥平面ABCD，
連CF，則∠PCF=30°
∴CF=a，∴CD=a（4分）
∴CF=a，連FE，則FE=a．
∴FE²+CE²=CF²
∴FE⊥EC，
∴∠PEF就是其所求二面角的平面角（6分）
在Rt△PFE中，∵PF=FE=a，∴∠PEF=45°
即二面角P-EC-D的大小為45°（8分）
（II）設D點到平面的距離為h，
∵V_D-PCE=V_P-CDE
∴a⇒h=a（12分）
點評：本題主要考查了點到平面的距離，以及二面角大小的度量，同時考查了推理能力和計算能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．