Question

己知雙曲線的方程為x²-

y2

3

=1，直線m的方程為x=

1

2

，過雙曲線的右焦點F的直線l與雙曲線的右支相交于P、Q，以PQ為直徑的圓與直線m相交于M、N，記劣弧

MN

的長度為n，則

n

|PQ|

的值為（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：由直角梯形的中位線性質可得：d=

d1+d2

2

，再利用雙曲線的第二定義可得r=d₁+d₂，即可得到∠MEN=

2π

3

，即可根據弧長公式得到弧長，進而得到答案．

解答：解：設P、Q到右準線的距離分別等于 d₁、d₂，AB的中點為E，E到右準線的距離等于d，并且圓的半徑等于r=

|PQ|

2

，
由直角梯形的中位線性質可得：d=

d1+d2

2

，
再根據雙曲線的第二定義可得：

|PF|

d1

=e=2，

|QF|

d2

=e=2，
所以|PF|+|QF|=2（d₁+d₂）=2r，
所以r=d₁+d₂，
即可得到r=2d，
所以∠MEN=

2π

3

，則有

MN

的長度為n=

2πr

3

，
所以

n

|PQ|

=

2πr 3

2r

=

π

3

．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的第二定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用與圓的有關性質及其應用．