Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，
（Ⅰ）求證：平面PED⊥平面PAC；
（Ⅱ）若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA∴PA⊥平面ABCD
結合AB⊥AD，可得
分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系o﹣xyz，如圖所示
可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），
P（0，0，λ） （λ＞0）
∴ ， ，
得 ， ，
∴DE⊥AC且DE⊥AP，
∵AC、AP是平面PAC內的相交直線，∴ED⊥平面PAC．
∵ED平面PED∴平面PED⊥平面PAC
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一個法向量是 ，

設直線PE與平面PAC所成的角為θ，
則 ，解之得λ=±2
∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐標為（0，0，2）
設平面PCD的一個法向量為 =（x0 ， y0 ， z0）， ，
由 ， ，得到 ，
令x0=1，可得y0=z0=﹣1，得 =（1，﹣1，﹣1）
∴cos＜ ，
由圖形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是銳角，
∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值為 ．

【解析】（I）由面面垂直的性質定理證出PA⊥平面ABCD，從而得到AB、AD、AP兩兩垂直，因此以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立坐標系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐標，進而得到 、 、 的坐標．由數量積的坐標運算公式算出 且 ，從而證出DE⊥AC且DE⊥AP，結合線面垂直判定定理證出ED⊥平面PAC，從而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一個法向量是 ，算出 、 夾角的余弦，即可得到直線PE與平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立關于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量數量積為零的方法，建立方程組算出 =（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一個法向量，結合平面PAC的法向量 ，算出 、 的夾角余弦，再結合圖形加以觀察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．