Question

設(shè)α、β∈(0，

π

2

)，則α+β=

π

2

是sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立的（　　）

A．充分而不必要的條件

B．必要而不充分的條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要的條件

Answer 1

分析：利用同角三角函數(shù)的故選先判斷出若α+β=

π

2

成立能推出sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立；再利用二倍角公式及和化積公式判斷出若sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立能推出α+β=

π

2

．利用充要條件的定義得到答案．

解答：解：若α+β=

π

2

成立，則有sin²α+sin²β=sin²α+sin2(

π

2

-α )=sin²α+cos²α=1；
sin²（α+β）=sin²

π

2

=1，所以sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立；
反之，若sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立，則有

1-cos2α

2

+

1-cos2β

2

=1-cos²（α+β）
即

1

2

(cos2α+cos2β)=cos²（α+β）
即cos（α+β）cos（α-β）=cos²（α+β）
所以cos（α+β）[cos（α+β）-cos（α-β）]=0，
所以cos（α+β）=0或[cos（α+β）=cos（α-β）]
所以α+β=

π

2

或α=0或β=0，
又因?yàn)棣痢?span id="8w3qul2" class="MathJye">β∈(0，

π

2

)，
所以α+β=

π

2

．
所以α+β=

π

2

是sin²α+sin²β=sin²（α+β）成立的充要條件．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查同角三角函數(shù)的故選、和、差化積公式及三角函數(shù)的二倍角公式；利用充要條件的有關(guān)定義判斷一個(gè)條件是另一個(gè)條件的什么條件問(wèn)題．