Question

設偶函數f（x）對任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，當x∈[-3，-2]時，f（x）=4x+12，則f（112.5）的值為（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

Answer 1

【答案】分析：由f（x）+f（x+1）=4我們可得，我們易得f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x），即f（x）是周期為2的偶函數，由函數周期性和奇偶性的性質，我們易將f（112.5）的自變量轉化到區間[-3，-2]中，進而得到f（112.5）的值．
解答：解：∵對任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4
∴f（x+1）=4-f（x）
∴f（x+2）=4-f（x+1）=4-[4-f（x）]=f（x）
∴f（x）是周期為2的偶函數
f（112.5）=f（112.5-2×55）=f（2.5）=f（-2.5）
-2.5∈[-3，-2]，所以f（-2.5）=4×（-2.5）+12=2
f（112.5）=2
故選A
點評：我們要求抽象函數的函數值，而自變量均大時，一般我們要用到函數的周期性，求函數的最小正周期是解題的關鍵．