Question

如圖，在一條河流的上、下游分別有甲、乙兩家化工廠，其中甲廠每天向河道內排放污水2萬m³，每天流過甲廠的河水流量是500萬m³（含甲廠排放的污水）；乙廠每天向河道內排放污水1.4萬m³，每天流過乙廠的河水流量是700萬m³（含乙廠排放的污水）．由于兩廠之間有一條支流的作用，使得甲廠排放的污水在流到乙廠時，有20%可自然凈化．假設工廠排放的污水能迅速與河水混合，且甲廠上游及支流均無污水排放．
（1）求河流在經過乙廠后污水含量的百分比約是多少？（精確到0.01%）
（2）根據環保要求，整個河流中污水含量不能超過0.2%，為此，甲、乙兩家工廠都必須各自處理一部分污水．已知甲廠處理污水的成本是1000元/萬m³，乙廠處理污水的成本是1000元/萬m³，求甲、乙兩廠每天分別處理多少萬m³污水，才能使兩廠處理污水的總費用最少？最小總費用是多少元？

Answer 1

分析：（1）根據題意，寫出甲廠排放的污水在流到乙廠時有多少被凈化，從而得出河流在經過乙廠后污水的總含量，最后寫出河流在經過乙廠后污水含量的百分比即可；
（2）先設設甲、乙兩廠每天分別處理污x，，y萬m³，兩廠處理污水的總費用為z元，依題意得列出約束條件和目標函數，最后依據線性規則的方法求出目標函數的最大值即可．

解答：解：（1）由題意，甲廠排放的污水在流到乙廠時有2×20%=0.4（萬m³）被凈化，
所以河流在經過乙廠后污水的總含量為（2-0.4）+1.4=3（萬m³）．
故河流在經過乙廠后污水含量的百分比約是

3

700

≈0.43%．（6分）
（2）設甲、乙兩廠每天分別處理污x，y萬m³，兩廠處理污水的總費用為z元．z=1000×1+800×0.8=1640

2-x 500 ≤ 0.2 100 0.8(2-x)+(1.4-y) 700 ≤ 0.2 100 0≤x≤2 0≤y≤1.4

即

4x+5y≥8 1≤x≤2 0≤y≤1.4

目標函數為z=1000x+800y.9（8分）
作可行域，如圖．（11分）
平移直線l：4x+5y=0，當直線經過點A（1，0.8）時，z取最小值，
此時（元）（13分）
故甲、乙兩廠每天應分別處理1萬m³、0.8萬m³污水，才能使兩廠處理污水的總費用最小，
且最小總費用是1640元．（15分）

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．目標函數有唯一最優解是最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關鍵點、定出最優解．