Question

【題目】已知過點的直線l：與拋物線E：（）交于B，C兩點，且A為線段的中點.

（1）求拋物線E的方程；

（2）已知直線：與直線l平行，過直線上任意一點P作拋物線E的兩條切線，切點分別為M，N，是否存在這樣的實數m，使得直線恒過定點A？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在實數使得命題成立

【解析】

(1)直線方程與拋物線方程聯立,借助韋達定理即可求得,得出拋物線方程;

(2)設M，N點的坐標分別為，，直線上任意一點,由,利用導數的幾何意義可得點M處的切線方程和點N處的切線方程,由都滿足上述兩個方程,即有可得直線的方程即為:,點代入即可得出存在實數使得命題成立.

（1）由，，，

依題意，.

故拋物線E的方程為：.

（2）設M，N點的坐標分別為，，直線上任意一點，

由，可得點M處的切線的方程為：，

點N處的切線的方程為：

∵都滿足上述兩個方程，∴

∴直線的方程為：，

∵直線恒過定點，∴，得，

故存在實數使得命題成立.