Question

【題目】已知數列的首項為，前項和為與之間滿足 ，

（Ⅰ）求證：數列是等差數列；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）設存在正整數，使對一切都成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析.（Ⅱ） （Ⅲ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）數列{an}的前n項和Sn與an之間滿足an= ，化為 ，即可證明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， 所以 ，n≥2時，an=Sn-Sn-1；n=1時，a1=1．可得數列的通項公式；（Ⅲ）原不等式等價于對一切都成立，即，令，于是， ，即，所以在上單調遞增，故，即可解得正整數的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）因為 ，

故，

所以，

由題， ，兩邊同時除以，得，

故 ，

故數列是公差為的等差數列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，

所以 ，

，

又，不滿足上式，

故.

（Ⅲ）原不等式等價于對一切都成立，

即，

令，

于是， ，即，

所以在上單調遞增，故,

因為為正整數，所以的最大值為.