Question

（本小題滿分14分）
如圖，在半徑為的圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A、C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長，圓柱的體積為.

（1）寫出體積V關于的函數關系式；
（2）當為何值時，才能使做出的圓柱形罐子體積V最大？

Answer 1

（1）
其中.（7分）
（2）當時，V有最大值.

  (1) 連結OB，∵，∴，設圓柱底面半徑為，則，可得，所以,
(2)利用導數求V的最大值即可.
（1）連結OB，∵，∴，
設圓柱底面半徑為，則，
即，
所以
其中.（7分）

（2）由，得
因此在（0，）上是增函數，在（，30）上是減函數.
所以當時，V有最大值.（14分）