Question

（本小題14分）
已知函數.
(Ⅰ)若，求曲線在處切線的斜率；
(Ⅱ)求的單調區間；
（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知，……………………………………………………（2分）
.
故曲線在處切線的斜率為.…………………………………（4分）
(Ⅱ).……………………………………………………（5分）
①當時，由于，故，
所以，的單調遞增區間為.………………………………………（6分）
②當時，由，得.
在區間上，，在區間上，
所以，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.………（8分）
（Ⅲ）由已知，轉化為.…………………………………………………（9分）
……………………………………………………………………………（10分）
由(Ⅱ)知，當時，在上單調遞增，值域為，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)……………………（11分）
當時，在上單調遞增，在上單調遞減，
故的極大值即為最大值，，…………（13分）
所以，
解得. ………………………………………………………………………（14分）

略