Question

設數列為等比數列，數列滿足，，已知，，其中.
(Ⅰ) 求數列的首項和公比；
(Ⅱ) 當時，求；
(Ⅲ) 設為數列的前項和，若對于任意的正整數，都有，求實數的取值范圍.

Answer 1

解：(Ⅰ) 由已知，所以，
， 所以，
解得，所以數列的公比.……………………………2分
(Ⅱ) 因為 ，
，……………①
，……………②
②①得，…………………………4分
所以，
當時，.………………………………6分
(Ⅲ)，………………………………7分
因為，所以，由得，
注意到，當為奇數時，當為偶數時，
所以最大值為，最小值為.………………………………9分
對于任意的正整數都有，
所以，.
即所求實數的取值范圍是.……………………………………10分

本試題主要是考查了等比數列的通項公式的求解，以及數列前n項和的運用。
（1）因為設數列為等比數列，數列滿足，，已知，，其中，那么可知由已知，所以，
， 所以，
解得，所以數列的公比
（2）利用錯位相減法得到數列b_n的公式。
（3）設為數列的前項和，若對于任意的正整數，都有
因為，可以解得。