Question

如圖，已知四棱錐，底面為菱形，
平面，，分別是的中點．
（1）證明：；
（2）若為上的動點，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值．

Answer 1

(1）詳見解析;(2）.

試題分析：（1）要證明AE⊥PD，我們可能證明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我們只要能證明AE⊥AD即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉化為證明AE⊥BC，由已知易我們不難得到結論．
（2）由EH與平面PAD所成最大角的正切值為，我們分析后可得PA的值，由（1）的結論，我們進而可以證明平面PAC⊥平面ABCD，則過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E-AF-C的平面角，然后我們解三角形ASO，即可求出二面角E-AF-C的余弦值.
（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形．
因為為的中點，所以．
又，因此．
因為平面，平面，所以．
而平面，平面且，
所以平面．又平面，
所以．    5分
（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又分別為的中點，所以

，
，
所以．    8分
設平面的一法向量為，
則因此
取，則，
因為，，，所以平面，
故為平面的一法向量．
又，所以．  10分
因為二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為．  12分.