Question

12、已知（x+x^-1）ⁿ的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則n=

7

；展開(kāi)式中x³的系數(shù)是

21

．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：利用賦值法求出展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和，列出方程解出n；利用展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為3得展開(kāi)式中x³的系數(shù)

解答：解：在（x+x^-1）ⁿ的展開(kāi)式中，
令x=1得展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為2ⁿ
∵（x+x^-1）ⁿ的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128
∴2ⁿ=128
∴n=7
∴（x+x^-1）ⁿ=（x+x^-1）⁷的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₇^rx^7-r（x^-1）^r=C₇^rx^7-2r
令7-2r=3得r=2
故展開(kāi)式中x³的系數(shù)是C₇²=21
故答案為7，21

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用賦值法求展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題．