Question

【題目】拋物線的焦點(diǎn)為F，圓，點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn).已知當(dāng)的面積為.

（I）求拋物線方程；

（II）若，過P做圓C的兩條切線分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，求面積的最小值，并求出此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （II）的最小值為2，

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意可得x02+（y0）2，|1||x0|，x02＝2py0，即可解得p＝1；

（II）設(shè)P（x0，y0），M（0，b），N（0，c），且b＞c，則直線PM的方程可得，由題設(shè)知，圓心（0，1）到直線PM的距離為1，把x0，y0代入化簡整理可得（2y0﹣1）b2﹣2y0b﹣y02＝0，同理可得（2y0﹣1）c2﹣2y0c﹣y02＝0，進(jìn)而可知b，c為（2y0﹣1）x2﹣2y0x﹣y02＝0的兩根，根據(jù)求根公式，可求得b﹣c，進(jìn)而可得△PMN的面積的表達(dá)式，根據(jù)均值不等式可得

（Ⅰ）由題意知：

，

，

,

，

拋物線方程為.

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)P且與圓C相切的直線的方程為

令x=0，得

切線與x軸的交點(diǎn)為

而，

整理得

，

設(shè)兩切線斜率為，

則

，

，

，

，

則，

令，則

，

而

當(dāng)且僅當(dāng)，即t=1時(shí)，“=”成立.

此時(shí)，

的最小值為2，