Question

已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點C（-1，0）且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點，試問在軸上是否存在點，使是與無關的常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓方程為。

（2）在x軸上存在點M（）， 使是與K無關的常數.

【解析】

試題分析：（1）∵橢圓離心率為，

∴，∴.        1分

又橢圓過點（，1），代入橢圓方程，得.        2分

所以.                          4分

∴橢圓方程為，即.           5分

（2）在x軸上存在點M，使是與K無關的常數.   6分

證明：假設在x軸上存在點M（m,0）,使是與k無關的常數，

∵直線L過點C（-1，0）且斜率為K,∴L方程為，

由 得.      7分

設，則      8分

∵

∴              9分

=

=

=

=                 10分

設常數為t，則.                11分

整理得對任意的k恒成立，

解得，                    12分

即在x軸上存在點M（）， 使是與K無關的常數.       13分

考點：橢圓的標準方程及幾何性質，直線與橢圓的位置關系，平面向量的數量積。

點評：中檔題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質，建立了a,bac的方程組。（2）作為研究，應用韋達定理，建立了m的函數式，利用函數觀點，求得m的值，肯定存在性，使問題得解。