Question

已知A、B是△ABC內角，
（1）若A、B∈(

π

4

 ， 

π

2

)，求證：tanA•tanB＞1；
（2）若B=

2π

3

，求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接通過角的范圍，判斷tanA和tanB的范圍，推出結果．
（2）通過角的轉化化簡表達式為A的三角函數，結合A的范圍求出表達式的范圍即可．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）證明：A，B∈(

π

4

，

π

2

)⇒tanA＞1，tanB＞1⇒tanA•tanB＞1．--------（4分）
（2）sinA+sinC=sinA+sin(

π

3

-A)，--------（5分）
=

1

2

sinA+

3

2

cosA=sin(A+

π

3

)--------（7分）
B=

2π

3

⇒0＜A＜

π

3

--------（8分）
⇒

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

⇒

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1．--------（10分）
∴sinA+sinC的取值范圍是(

3

2

，1]--------（12分）

點評：本題考查三角函數的值的判斷，三角函數值域的范圍的求法，考查計算能力．