Question

已知不等式x²+mx＞4x+m-4．
（1）若對于0≤m≤4的所有實數m，不等式恒成立，求實數x的取值范圍．
（2）若對于x≤1的所有實數x，不等式恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把不等式整理為關于m的一次不等式形式，根據題意可得相應一次函數在端點m=0，m=4處函數值的符號，從而可得x的不等式組，解出即可；
（2）x²+mx＞4x+m-4可化為x²+（m-4）x-m+4＞0，令f（x）=x²+（m-4）x-m+4，則問題等價于x≤1時f（x）_min＞0，按對稱軸與區間（-∞，1]的位置關系進行討論可得f（x）_min；

解答：解：（1）x²+mx＞4x+m-4，可整理為（x-1）m+x²-4x+4＞0，
∵對于0≤m≤4的所有實數m，不等式恒成立，
∴有

(x-1)×0+x2-4x+4＞0 (x-1)×4+x2-4x+4＞0

，即

x2-4x+4＞0 x2＞0

，解得x≠0，且x≠2，
∴實數x的取值范圍為：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）；
（2）x²+mx＞4x+m-4可化為x²+（m-4）x-m+4＞0，
令f（x）=x²+（m-4）x-m+4，
由對x≤1的所有實數x，不等式恒成立，得
當-

m-4

2

≥1，即m≤2時，有f（x）_min=f（1）=1+m-4-m+4＞0，解得m∈R，∴m≤2；
當-

m-4

2

＜1，即m＞2時，有f（x）_min=f（-

m-4

2

）=-

(m-4)2

4

-m+4＞0，解得0＜m＜4，∴2＜m＜4；
綜上，m＜4，即所求實數m的取值范圍是：m＜4．

點評：本題考查函數恒成立問題、一元二次不等式的解法，考查轉化思想、分類討論思想，考查學生解決問題的能力．