Question

直線L經過P（5，5），其斜率為k，L與圓x²+y²=25相交，交點分別為A，B．
（1）若|AB|=4

5

，求k的值；
（2）若|AB|＜2

7

，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由P坐標與k表示出直線L，表示出圓心到直線L的距離d，由d與r表示出弦長|AB|，根據已知的弦長即可求出k的值；
（2）由已知弦長的范圍列出關于k的不等式，即可求出k的范圍．

解答：解：（1）直線L方程為y-5=k（x-5），即kx-y+5-5k=0，
∵圓心（0，0）到直線L的距離d=

|5-5k|

k2+1

，r=5，且|AB|=4

5

，
∴|AB|=2

r2-d2

，即20=25-

(5k-5)2

k2+1

，
解得：k=

1

2

或k=2；
（2）由（1）得|AB|＜2

r2-d2

，即7＜25-

(5k-5)2

k2+1

，
解得：

1

7

＜k＜7．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．