Question

已知定義在上的函數是偶函數，且時， .
(1)當時，求解析式；
（2）當，求取值的集合.
（3）當，函數的值域為,求滿足的條件。

Answer 1

、解：（1）當時
（2）取值的集合為
綜上：當，取值的集合為
當，取值的集合為
當，取值的集合為
（3）

本試題主要是考查了函數的解析式和函數的值域以及函數的奇偶性的綜合運用。
（1）利用奇偶性得到對稱區間的解析式。
（2）需要對參數m討論可知得到二次函數的值域。
（3）當，函數的值域為,
由的單調性和對稱性知，的最小值為，從而得到a,b的關系式。
解：（1）函數是偶函數，

當時，

當時
（2）當，，為減函數
取值的集合為
當，，在區間為減函數，在區間為增函數
且，
取值的集合為
當，，在區間為減函數，在區間為增函數
且，
取值的集合為
綜上：當，取值的集合為
當，取值的集合為
當，取值的集合為
（3）當，函數的值域為,
由的單調性和對稱性知，的最小值為，
，