Question

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y＝x對稱．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若Q是雙曲線C上的任一點，F₁、F₂為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．

(3)設直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經過M(－2，0)及AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設雙曲線C的漸近線方程為y＝kx，即kx－y＝0 　　∵該直線與圓相切， 　　∴雙曲線C的兩條漸近線方程為　　　　　　　　　　　　　　2分 　　故設雙曲線C的方程為，又∵雙曲線C的一個焦點為 　　∴，∴雙曲線C的方程為　　　　　　　　　4分 　　(2)若Q在雙曲線的右支上，則延長QF2到T，使|QT|＝|OF1| 　　若Q在雙曲線的左支上，則在QF2上取一點T，使|QT|＝|QF1| 　　根據雙曲線的定義|TF2|＝2，所以點T在以F2為圓心，2為半徑的圓上，即點T的軌跡方程是①　　　　　　　　　　6分 　　由于點N是線段F1T的中點，設N(x，y)，T() 　　則 　　代入①并整理得點N的軌跡方程為　　　　　　8分 　　(3)由 　　令 　　直線與雙曲線左支交于兩點，等價于方程上有兩個不等實根． 　　因此　　　　　　　　　　　　　　　10分 　　又AB中點為 　　∴直線L的方程為　　　　　　　　　　　　12分 　　令x＝0，得 　　∵∴ 　　∴故b的取值范圍是　　　　　　　　　14分