Question

已知定義域在R上的函數f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）；
（Ⅱ）判斷函數的奇偶性，并證明之；
（Ⅲ）解不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法：取x=y=0 則可求f（0）
（2）令y=-x，代入已知可得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，可判斷
（3）先判斷函數的單調性，然后由f（x）是R上的單調性及不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0可得關于a的不等式，可求

解答：（1）解：取x=y=0 則f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）f（x）是奇函數
證明：對任意x∈R，取y=-x；則f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0 
即f（-x）=-f（x）∴f（x）是R上的奇函數
（3）任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則x₂=x₁+△x （其中△x＞0 ）
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x） 
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＞0 
即f（x₂）＞f（x₁） 
∴f（x）是R上的增函數對于不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0；∴f（2a+1）＜-f（a-4）=f（4-a） 
∴2a+1＜4-a 
即a＜1

點評：本題主要考查了利用賦值法求解函數的函數值，判斷函數的奇偶性、單調性及利用單調性求解不等式等函數知識的綜合應用