Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0,-)，(0,)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）寫出C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A、B兩點(diǎn)，k為何值時(shí)？

Answer 1

【答案】解：（1）由條件知：P點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，
其中c=,a=2，所以b2=a2﹣c2=4-()2=1．
故軌跡C的方程為：；
（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
由（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0
由△=16k2+48＞0，可得：，
再由=0x1x2+y1y2=0
即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
所以，．
【解析】（1）由題意可知P點(diǎn)的軌跡為橢圓，并且得到c=,a=2，求出b后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后得到判別式大于0，然后利用根與系數(shù)關(guān)系得到直線和橢圓兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，寫出兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示，最后代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得k的值．