Question

如圖，在平面直角坐標系中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點．
（1）如果A，B兩點的縱坐標分別為

4

5

，

12

13

，求cosα和sinβ的值；
（2）在（1）的條件下，求cos（β-α）的值；
（3）已知點C(-1，

3

)，求函數f(α)=

OA

•

OC

的值域．

Answer 1

分析：（1）根據三角函數的定義，利用單位圓，直接求出cosα和sinβ的值．
（2）由題意判斷α，β范圍，求出cosα=

3

5

，cosβ=-

5

13

．利用兩角差的余弦公式求解cos（β-α）的值．
（3）求出函數f(α)=

OA

•

OC

的表達式，f(α)=

OA

•

OC

=2sin(α-

π

6

)，根據α的范圍，確定函數的值域．

解答：解：（1）根據三角函數的定義，得sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．
又α是銳角，所以，cosα=

3

5

．（4分）
（2）由（1）知，sinα=

4

5

，sinβ=

12

13

．
又α是銳角，β是鈍角，
所以cosα=

3

5

，cosβ=-

5

13

．
所以cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=(-

5

13

)×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．（9分）
（3）由題意可知，

OA

=(cosα，sinα)，

OC

=(-1，

3

)．
所以f(α)=

OA

•

OC

=

3

sinα-cosα=2sin(α-

π

6

)，
因為0＜α＜

π

2

，所以-

π

6

＜α-

π

6

＜

π

3

，
所以函數f(α)=

OA

•

OC

的值域為(-1，

3

)．（13分）

點評：本題考查任意角的三角函數的定義，平面向量數量積的運算，同角三角函數基本關系的運用，兩角和與差的余弦函數，考查計算能力，是中檔題．