Question

【題目】已知直線是雙曲線的一條漸近線，點都在雙曲線上，直線與軸相交于點，設坐標原點為.

（1）求雙曲線的方程，并求出點的坐標（用表示）；

（2）設點關于軸的對稱點為，直線與軸相交于點.問：在軸上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）若過點的直線與雙曲線交于兩點，且，試求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點，其坐標為或（3）

【解析】

（1）求得雙曲線的漸近線方程，可得，由題意可得，，可得雙曲線的方程，求出直線的方程，可令，求得的坐標；（2）求得對稱點的坐標，直線方程，令，可得的坐標，假設存在，運用兩直線垂直的條件：斜率之積為，結合在雙曲線上，化簡整理，即可得到定點；（3）設出直線的方程，代入雙曲線的方程，運用韋達定理，由向量數量積的性質，可得向量，的數量積為0，化簡整理，解方程可得的值，檢驗判別式大于0成立，進而得到直線的方程．

解：（1）由已知，得,故雙曲線的方程為

為直線AM的一個方向向量，

直線AM的方程為它與軸的交點為

（2）由條件，得且為直線AN的一個方向向量，

故直線AN的方程為它與軸的交點為

假設在軸上存在定點，使得,則

由及得

故即存在定點，其坐標為或滿足題設條件.

（3）由知，以為鄰邊的平行四邊形的對角線的長相等，故此四邊形為矩形，從而

由已知，可設直線的方程為并設

則由得

由及得且（*）

由

得

故符合約束條件（*）.

因此，所求直線的方程為