Question

【題目】火電廠、核電站的循環水自然通風冷卻塔是一種大型薄殼型構筑物。建在水源不十分充足的地區的電廠，為了節約用水，需建造一個循環冷卻水系統，以使得冷卻器中排出的熱水在其中冷卻后可重復使用，大型電廠采用的冷卻構筑物多為雙曲線型冷卻塔.此類冷卻塔多用于內陸缺水電站，其高度一般為75~150米，底邊直徑65~120米. 雙曲線型冷卻塔比水池式冷卻構筑物占地面積小，布置緊湊，水量損失小，且冷卻效果不受風力影響；它比機力通風冷卻塔維護簡便，節約電能；但體形高大，施工復雜，造價較高.（以上知識來自百度，下面題設條件只是為了適合高中知識水平，其中不符合實際處請忽略.）

（1）如圖為一座高100米的雙曲線冷卻塔外殼的簡化三視圖（忽略壁厚），其底面直徑大于上底直徑，已知其外殼主視圖與左視圖中的曲線均為雙曲線，高度為100，俯視圖為三個同心圓，其半徑分別40，，30，試根據上述尺寸計算視圖中該雙曲線的標準方程（為長度單位米）；

（2）試利用課本中推導球體積的方法，利用圓柱和一個倒放的圓錐，計算封閉曲線：，，繞軸旋轉形成的旋轉體的體積多少？（用表示）.（用積分計算不得分）現已知雙曲線冷卻塔是一個薄殼結構，為計算方便設其內壁所在曲線也為雙曲線，其壁最厚為0.4（底部），最薄處厚度為0.3（喉部，即左右頂點處），試計算該冷卻塔內殼所在的雙曲線標準方程是？并計算本題中的雙曲線冷卻塔的建筑體積（內外殼之間）大約是多少；（計算時取3.14159，保留到個位即可）

（3）冷卻塔體型巨大，造價相應高昂，本題只考慮地面以上部分的施工費用（建筑人工和輔助機械）的計算，鋼筋土石等建筑材料費用和和其它設備等施工費用不在本題計算范圍內.超高建筑的施工（含人工輔助機械等）費用隨著高度的增加而增加，現已知：距離地面高度30米（含30米）內的建筑，每立方米的施工費用平均為：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工費用為800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工費用增加100元.試計算建造本題中冷卻塔的施工費用（精確到萬元）.

Answer 1

【答案】（1），；（2），，；（3）萬元.

【解析】

（1）由最窄處距離可求得；根據時，；時，，可構造方程求得，從而得到雙曲線方程；（2）首先求得雙曲線旋轉體的體積和內層雙曲線方程，計算得到體積差的函數關系式，分別代入和可求得體積差，加和得到所求體積；（3）由（2）可推得高度時的幾何體體積；將在高度米以內的薄殼體積的建筑費用分為高度米以內和高度在米之間兩類分別計算；設超過米部分，每高米的環形建筑物的體積構成數列，其相應的每立方米的施工費用對應為等差數列，易得通項公式；由雙曲線對稱性可知，進而可計算出此部分對應的建筑費用；綜合三部分的費用即可得到結果.

（1）最窄處即雙曲線兩頂點間

設雙曲線的標準方程為：

由題意知：當（地面半徑）時對應的值是；當時，的值為

，解得：

雙曲線的標準方程是，

（2）高為的雙曲線旋轉體的體積是：

其旋轉體相當于一個底面半徑為，高為的圓柱與底面半徑為，高為倒立圓錐的體積之和.

計算內層雙曲線方程為：

高為時雙曲線旋轉體的體積差為：

當與時，計算上述體積差，分別為，，合計約為立方米

冷卻塔的建筑體積約為立方米

（3）由（2）知高為的雙曲線冷卻塔殼體體積為立方米

立方米

當高度時，其幾何體體積為：

于是在高度米以內的薄殼體積的建筑費用：

第一部分，高度米以內的體積：

相應施工費用為：（元）

第二部分，高度在米之間的部分體積

相應施工費用為：（元）

設超過米部分，每高米的環形建筑物的體積構成數列，其相應的每立方米的施工費用對應為等差數列

注意到雙曲線的對稱性，本題中的冷卻塔喉部在高度米處，其上方米，下方處恰為高度米處，于是

又數列是等差數列

這部分費用為：

其中為（2）中時殼體的體積，其值約為

這部分施工費用約為（元）

綜上，本題中所求的施工總費用元，約萬元