Question

（2006•西城區一模）對于一切實數x，令[x]為不大于x的最大整數，則函數f（x）=[x]稱為高斯函數或取整函數．計算f（-0.3）+f（1）+f（1.3）=

1

；若an=f(

n

3

)，n∈N*，Sn為數列{a_n}的前n項和，則S_3n=

1

2

(3n2-n)

．

Answer 1

分析：先根據所給的新定義推導數列的幾項，從這幾項中看出數列的項的特點，找出規律，得到最終結果為S_3n=3[0+1+2++（n-1）]+n，化簡即可．

解答：解：∵[x]為不大于x的最大整數，f（x）=[x]
∴f（-0.3）+f（1）+f（1.3）=-1+1+1=1
：∵f（x）=[x]為高斯實數或取實數，若an=f(

n

3

)，n∈N*，
∴a1=f(

1

3

)=[

1

3

]=0，
a2=f(

2

3

)=[

2

3

]=0，
a3=f(

3

3

)=[

3

3

]=1，
a4=f(

4

3

)=[

4

3

]=1，
a5=f(

5

3

)=[

5

3

]=1，
a6=f(

6

3

)=[

6

3

]=2，
a7=f(

7

3

)=[

7

3

]=2，
…
a3n=f(

3n

3

)=[

3n

3

]=n，
∴S_3n=3[0+1+2+…+（n-1）]+n=

1

2

(3n2-n)（n∈N^*）．
故答案為：1，

1

2

(3n2-n)

點評：本題主要考查數列與函數的綜合運用，主要涉及了數列的推導與歸納，同時，又是新定義題，應熟悉定義，將問題轉化為已知去解決，屬于基礎題．