Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為邊長為2的菱形，，，面面，點為棱的中點.

（1）在棱上是否存在一點，使得面，并說明理由；

（2）當二面角的余弦值為時，求直線與平面所成的角.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）取的中點，連結、，可證，四邊形為平行四邊形.

則，又平面，平面，所以，平面.故在棱上存在點，使得面，點為棱的中點.

（2）可證面，故以為坐標原點建立如圖空間坐標系，求出相應點及相應向量的坐標可求直線與平面所成的角.

（1）在棱上存在點，使得面，點為棱的中點.

理由如下：

取的中點，連結、，

由題意，且，且，

故且.

所以，四邊形為平行四邊形.

所以，，又平面，平面，

所以，平面.

（2）由題意知為正三角形，所以，亦即，

又，

所以，且面面，面面，

所以面，故以為坐標原點建立如圖空間坐標系，

設，則由題意知，，，，

，，

設平面的法向量為，

則由得，

令，則，，

所以取，

顯然可取平面的法向量，

由題意： ，所以.

由于面，所以在平面內的射影為，

所以為直線與平面所成的角，

易知在中，從而，

所以直線與平面所成的角為.