Question

已知函數(shù)f（x）=cosxsinx（x∈R），給出下列四個(gè)命題：
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數(shù)；
④f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對(duì)稱．
其中真命題是（　�。�

• A、①②④
• B、①③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：先根據(jù)二倍角公式將函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和已知判斷①；根據(jù)最小正周期的求法可判斷②；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷③；再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可判斷④．

解答：解：∵f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x
若f（x₁）=-f（x₂），則sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）
∴2x₁=-2x₂+2kπ時(shí)滿足條件，即x₁+x₂=kπ可以，故①不正確；
由函數(shù)f（x）=

1

2

sin2x知周期T=

2π

2

=π，故②不正確；
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，
當(dāng)k=0時(shí)，x∈[-

π

4

，

π

4

]，f（x）是增函數(shù)，故③正確；
將x=

3π

4

代入函數(shù)f（x）得，f（

3π

4

）=-

1

2

為最小值，
故f（x）的圖象關(guān)于直線x=

3π

4

對(duì)稱，④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的二倍角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)．基礎(chǔ)知識(shí)的熟練掌握是解題的關(guān)鍵，一定要將基礎(chǔ)打牢．