Question

【題目】如圖， 是邊長為的正方形， 平面， 平面， .

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）先證明，結合，根據線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結論；（Ⅱ）先根據勾股定理求底面三角形的三邊的長，進而根據其特性求底面三角形的面積，再根據棱錐的體積公式求解即可.

試題解析：（Ⅰ）證明：連接，

因為是正方形，所以.

因為平面， 平面，

所以.

因為，所以平面.

因為平面， 平面，所以.

所以， ， ， 四點共面.

因為平面，所以.

（Ⅱ）設，連接， .

由（Ⅰ）知， 平面，

所以平面.

因為平面將三棱錐分為兩個三棱錐和，

所以.

因為正方形的邊長為， ，

所以， .

取的中點，連接，則 .

所以等腰三角形的面積為 .

所以

.

所以三棱錐的體積為.