Question

已知定義在R上的奇函數y=f（x）滿足y=f(x+

π

2

)為偶函數，對于函數y=f（x）有下列幾種描述：
①y=f（x）是周期函數；
②y=f(x+

π

2

)的圖象可以由y=f（x）的圖象向右平移

π

2

得到；
③（-π，0）是y=f（x）的圖象的一個對稱中心；
④當x=

π

2

時，y=f（x）一定取最大值．
其中描述正確的是

 

．

Answer 1

分析：由題意可得f（-x）=-f（x），y=f（x+

π

2

）為偶函數?函數 y=f（x）關于x=

π

2

對稱?f（x）=f（π-x），結合各命題及函數的性質可分別進行判斷．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函數
∴f（-x）=-f（x）（1）
∵y=f（x+

π

2

）為偶函數，函數的圖象關于y軸對稱
∴函數y=f（x）關于x=

π

2

對稱即f（x）=f（π-x）（2）
由（1）（2）可得f（2π+x）=f（x）故①正確
②y=f（x）

向左平移 π 2

y=f(x+

π

2

)，故②錯誤
③由函數為奇函數可得f（-π）=-f（π）（1）；由周期函數可得f（x）=f（x+2π）（2）由（1）（2）可得f（-π）=-f（π）=f（π）=0，從而可知③正確
④x=

π

2

是函數的對稱軸，取函數的最值，但不一定是最大值，故④錯誤
故答案為：①③

點評：本題主要考查了函數的性質的綜合運用：函數的奇偶性，函數的對稱性（軸對稱與中心對稱），函數的周期性的相關知識的綜合運用，還要具備一定的邏輯推導的能力．