Question

【題目】某校為選拔參加“央視猜燈謎大賽”的隊員，在校內組織猜燈謎競賽．規(guī)定：第一階段知識測試成績不小于160分的學生進入第二階段比賽．現(xiàn)有200名學生參加知識測試，并將所有測試成績繪制成如下所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）估算這200名學生測試成績的中位數(shù)，并求進入第二階段比賽的學生人數(shù)；
（Ⅱ）將進入第二階段的學生分成若干隊進行比賽．現(xiàn)甲、乙兩隊在比賽中均已獲得120分，進入最后搶答階段．搶答規(guī)則：搶到的隊每次需猜3條謎語，猜對1條得20分，猜錯1條扣20分．根據(jù)經(jīng)驗，甲隊猜對每條謎語的概率均為 ，乙隊猜對前兩條的概率均為 ，猜對第3條的概率為 ．若這兩隊搶到答題的機會均等，您做為場外觀眾想支持這兩隊中的優(yōu)勝隊，會把支持票投給哪隊？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設測試成績的中位數(shù)為x，由頻率分布直方圖得，
（0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5，
解得：x=143.6．
∴測試成績中位數(shù)為143.6．
進入第二階段的學生人數(shù)為200×（0.003+0.0015）×20=18人．
（Ⅱ）設最后搶答階段甲、乙兩隊猜對燈謎的條數(shù)分別為ξ、η，
則ξ～B（3， ），
∴E（ξ）= ．
∴最后搶答階段甲隊得分的期望為[ ]×20=30，
∵P（η=0）= ，
P（η=1）= ，
P（η=2）= ，
P（η=3）= ，
∴Eη= ．
∴最后搶答階段乙隊得分的期望為[ ]×20=24．
∴120+30＞120+24，
∴支持票投給甲隊
【解析】（Ⅰ）設測試成績的中位數(shù)為x，由頻率分布直方圖中x兩側的矩形的面積相等列式求得x值，則中位數(shù)可求，再由200×（0.003+0.0015）×20求得進入第二階段的學生人數(shù)；（Ⅱ）設最后搶答階段甲、乙兩隊猜對燈謎的條數(shù)分別為ξ、η，則ξ服從B（3， ）分布，由此求得Eξ，進一步求得最后搶答階段甲隊得分的期望，然后求出Eη，再求出最后搶答階段乙隊得分的期望，比較期望后得答案．