Question

．（本小題共13分）在平面直角坐標系xOy中，為坐標原點，動點與兩個定點，的距離之比為．
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）若直線：與曲線交于，兩點，在曲線上是否存在一點，使得，若存在，求出此時直線的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設點的坐標為，依題意，，        ………1分
即 ，                  ……………………3分
化簡得．
所以動點的軌跡的方程為．            ……………………5分
（Ⅱ）因為直線：與曲線相交于，兩點，
所以 ，
所以或．            ……………………7分
假設存在點，使得．                 ……………………8分
因為，在圓上，且，
由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，
所以與互相垂直且平分，                     …………9分
所以原點到直線：的距離為．…………10分
即 ，解得， ，經驗證滿足條件．……………………12分
所以存在點，使得．                   ……………………13分

略