Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a+1)x2+(a2+a)x．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極大值，求實數a的值；
（Ⅱ）若a＞-1，求f（x）在區間[0，1]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=（x-a）[x-（a+1）]，列出f′（x），f（x）隨x的變化情況表，由表易知x=a時f（x）取得極大值，即a=1；
（Ⅱ）當a＞-1時a+1＞0，根據極值點與區間的位置關系分情況進行討論：a≥1時，0＜a＜1時，a=0時，-1＜a＜0時，由導數易判斷單調性，根據單調性可得最大值，綜合以上各種情況可得結論；

解答：解：（Ⅰ）因為 f'（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-a）[x-（a+1）]，
令f'（x）=0，得x₁=（a+1），x₂=a，
所以f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，a）	a	（a，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以a=1；
（II） 因為a＞-1，所以a+1＞0，
當a≥1時，f'（x）≥0對x∈[0，1]成立，
所以當x=1時，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

；
當0＜a＜1時，在x∈（0，a）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，在x∈（a，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以當x=a時，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2；
當a=0時，在x∈（0，1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
所以當x=0時，f（x）取得最大值f（0）=0；
當-1＜a＜0時，在x∈（0，a+1）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減，在x∈（a+1，1）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，
又f(0)=0，f(1)=a2-

1

6

，
當-1＜a＜-

6

6

時，f（x）在x=1時取得最大值f(1)=a2-

1

6

，
當-

6

6

＜a＜0時，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0，
當a=-

6

6

時，f（x）在x=0，x=1處都取得最大值0．
綜上所述，當a≥1或-1＜a＜-

6

6

時，f（x）取得最大值f(1)=a2-

1

6

，
當0＜a＜1時，f（x）取得最大值f(a)=

1

3

a3+

1

2

a2，
當a=-

6

6

時，f（x）在x=0，x=1處都取得最大值0，
當-

6

6

＜a≤0時，f（x）在x=0取得最大值f（0）=0．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、最值，考查分類討論思想，解決（Ⅱ）問時可借助圖形分析極值點與區間的位置關系，由此對a展開討論．