Question

橢圓的一個焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為45°的直線l過點F．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的另一個焦點為F₁，問拋物線y²=4x上是否存在一點M，使得M與F₁關于直線l對稱，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定拋物線y²=4x的焦點與準線方程為x=-1，利用橢圓焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，建立方程，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）根據傾斜角為45°的直線l過點F，可得直線l的方程，由（Ⅰ）知橢圓的另一個焦點為F₁（-1，0），利用M（x，y）與F₁關于直線l對稱，可得M的坐標，由此可得結論．
解答：解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），準線方程為x=-1，（2分）
∴a²-b²=1  ①（3分）
又橢圓截拋物線的準線x=-1所得弦長為，∴得上交點為，
∴  ②（4分）
由①代入②得2b⁴-b²-1=0，解得b²=1或（舍去），
從而a²=b²+1=2
∴該橢圓的方程為     （6分）
（Ⅱ）∵傾斜角為45°的直線l過點F，
∴直線l的方程為y=x-1，（7分）
由（Ⅰ）知橢圓的另一個焦點為F₁（-1，0），設M（x，y）與F₁關于直線l對稱，（8分）
則得 （10分）  
解得，即M（1，-2）
又M（1，-2）滿足y²=4x，故點M在拋物線上．   （11分）
所以拋物線y²=4x上存在一點M（1，-2），使得M與F₁關于直線l對稱．（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查點關于線的對稱問題，解題的關鍵是利用拋物線及弦長建立方程，屬于中檔題．