Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2BC=2AB=2．

（1）求證：平面PAC⊥平面PCD；
（2）若E是PD的中點，求平面BCE將四棱錐P﹣ABCD分成的上下兩部分體積V1、V2之比．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD．

取AD中點H，連接CH，則CH⊥AD，CH=AB=HD．

∴∠ACH=∠DCH=45°，

∴AC⊥CD，

∵PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵CD平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PCD；

（2）證明：解：取PD中點E，PA中點F，連接EF，BE，則EF∥AD，

∵BC∥AD，

∴EF∥BC，

∴B，C，E，F四點共面．

故平面BCE將四棱錐P﹣ABCD分成的上部分為四棱錐P﹣BCEF，下部分為多面體EFABCD．

易知ABF﹣HCE為直三棱柱，CH⊥平面PAD．

∴V2=VABF﹣HCE+VC﹣DEH=S△ABFBC+ = +

= = ，

∵VP﹣ABCD= = =1，

∴V1=1﹣ = ，

∴ = ．

【解析】（1）取AD中點H，連接CH，則CH⊥AD，CH=AB=HD，證明CD⊥平面PAC，即可證明求證：平面PAC⊥平面PCD；（2）證明B，C，E，F四點共面，故平面BCE將四棱錐P﹣ABCD分成的上部分為四棱錐P﹣BCEF，下部分為多面體EFABCD．易知ABF﹣HCE為直三棱柱，CH⊥平面PAD，利用體積公式，即可求平面BCE將四棱錐P﹣ABCD分成的上下兩部分體積V1、V2之比．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．