Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數且f（-2）=-3，當x≥0時，f（x）=ax-1，其中a＞0且a≠1．

（1）求的值；

（2）求函數f（x）的解析式；

（3）已知g（x）=log2x，若對任意的x1∈[1，4]，存在使得f（mx1）+1≥g（x2）（其中m≥0）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）；（3）

【解析】

（1）根據題意，由奇函數的性質可得=0，即可得答案；

（2）根據題意，由函數的奇偶性可得f（2）=3，結合函數的解析式可得f（2）=a2-1=3，解可得a=2，解可得當x≥0時，f（x）=2x-1，當x＜0時，結合函數的奇偶性與解析式分析可得f（x）=-f（-x）=-2-x+1，綜合可得答案；

（3）根據題意，由函數的解析式分析可得x1∈[1，4]時，f（mx1）的取值范圍和當時，g（x2）的取值范圍，結合題意可得2m≥，解可得m的取值范圍，即可得答案．

（1）根據題意，f（x）為奇函數，即有f（x）+f（-x）=0，

則=0，

（2）根據題意，f（x）是定義在R上的奇函數且f（-2）=-3，則f（2）=3，

又由當x≥0時，f（x）=ax-1，則f（2）=a2-1=3，解可得a=2，

則當x≥0時，f（x）=2x-1，

當x＜0時，-x＞0，f（-x）=2-x-1，

則f（x）=-f（-x）=-2-x+1，

故f（x）=；

（3）任意的x1∈[1，4]，當m＞0，有mx1＞0，則f（mx1）+1=，

則有2m≤f（mx1）+1≤24m，

當時，則g（x2）=log2x2，則有≤g（m）≤1+log23，

若對任意的x1∈[1，4]，存在使得f（mx1）+1≥g（x2），

則有2m≥，解可得m≥log23-1，

即m的取值范圍為[log23-1，+∞）