Question

已知函數
⑴若為的極值點，求的值；
⑵若的圖象在點處的切線方程為，求在區間上的最大值；
⑶當時，若在區間上不單調，求的取值范圍．

Answer 1

⑴或2．⑵．

解析試題分析：⑴，∵是的極值點，∴，即，解得或2．
⑵∵在上．∴，∵在上，∴，又，∴，∴，解得，∴，由可知和是的極值點．∵，∴在區間上的最大值為8．  
⑶因為函數在區間不單調，所以函數在上存在零點．而的兩根為，，區間長為，∴在區間上不可能有2個零點．所以，即．∵，∴．又∵，∴．
考點：本題主要考查導數計算及其幾何意義，應用導數研究函數的最值。
點評：典型題，在給定區間，導數值非負，函數是增函數，導數值為非正，函數為減函數。求極值的步驟：計算導數、求駐點、討論駐點附近導數的正負、確定極值、計算得到函數值比較大小。切線的斜率為函數在切點的導數值。（3）將條件轉化成函數在上存在零點，體現了轉化與化歸思想的應用。