Question

某工廠有214名工人，現要生產1500件產品，每件產品由3個A型零件與1個B型零件配套組成，每個工人加工5個A型零件與3個B型零件所需時間相同．現將全部工人分為兩組，分別加工一種零件，同時開始加工．設加工A型零件的工人有x人，在單位時間內每人加工A型零件5k個 （k∈N*），加工完A型零件所需時間為g（x），加工完B型零件所需時間為
h （x）．
（Ⅰ）試比較g（x）與h（x）大小，并寫出完成總任務的時間f（x）的表達式；
（Ⅱ）怎樣分組才能使完成任務所需時間最少？

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，A型零件共需要4500個，B型零件共需要1500個，
加工B型零件的工人有214﹣x人，單位時間內每人加工B型零件3k個，
所以 ， 
∴g（x）﹣h（x）= 
∵0＜x＜214，且x∈N*，
∴當1≤x≤137（x∈N*）時，g（x）＞h（x）；
當137≤x≤213（x∈N*）時，g（x）＜h（x）；
∴f（x）= （其中x∈N*）
（Ⅱ）分組才能使完成任務所需時間最少，即求當x為何值時，f（x）最小
∵當1≤x≤137（x∈N*）時， 為減函數；
當137≤x≤213（x∈N*）時， 為增函數 
 
∴x=137時，f（x）最小
即加工A型零件137人，加工B型零77人，完成任務所需時間最少