Question

已知a>0，函數.
(1)若，求函數的極值，
(2)是否存在實數，使得成立？若存在，求出實數的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）極小值，沒有極大值；（2）存在，.

試題分析：本題主要考查導數的應用、不等式等基礎知識，考查思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力,考查函數、轉化與化歸、特殊與一般等數學思想方法.第一問，先求導數，判斷函數的單調性，根據極值的定義求極值；第二問，是恒成立問題，設出函數，此題可以轉化為求函數最值的問題，此題比較綜合.
試題解析：（1）當時，，，
因為，所以當時，，當時，，所以函數在處取得極小值，函數沒有極大值.      4分
（2）令，即，
，令，，
所以有兩個不等根，，不妨設，
所以在上遞減，在上遞增，所以成立，
因為，所以，所以.
令，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，又，
所以代入得，
所以.       12分