Question

【題目】已知函數（）.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數的單調區間；

（3）若對（為自然對數的底數），恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）單調遞增區間為;單調遞減區間 (3)

【解析】分析：（1）求出，，切線方程為。

(2)先求定義域，再求導，，因為，所以，所以導數的零點只有一個，可求得單調區間。（3）對，恒有成立，等價于對，恒有成立，構造函數，，即： ，利用導數可求得范圍，注意題目中。

詳解：（1）當時，

，又

∴曲線在點處的切線方程為：

即：

（2）

∵時，∴

令，解得

令，解得

∴的單調遞增區間為;單調遞減區間

（3）由題意，對，恒有成立，等價于對，恒有

成立，即：

設，

∵在上恒成立

∴在單調遞增

∴

∴只需；即：

又∵，∴

∴實數的取值范圍是