Question

若函數f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2對一切實數x恒為正值，則實數a的取值范圍是

1. A.
   1≤a≤9
2. B.
   1＜a＜9
3. C.
   a≤1或a＞9
4. D.
   1≤a＜9

Answer 1

D
分析：對于函數f（x）=ax²+bx+c，首先對二次項的系數分a=0和a≠0討論，然后對a≠0再分與解出即可．
解答：①當-（a²-11a+10）=0時，解得a=1或a=10．
當a=10時，f（x）=-9x+2不滿足對一切實數x恒為正值，故舍去．
當a=1時，f（x）=2滿足對一切實數x恒為正值，因此a=1適合題意．
②當-（a²-11a+10）＞0時，解得1＜a＜10．
要使函數f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2對一切實數x恒為正值，
則必有△=（a-1）²+8（a²-11a+10）＜0，又1＜a＜10，
解得1＜a＜9，滿足題意．
③當-（a²-11a+10）＜0時，解得a＜1或a＞10．
要使函數f （x）=-（a²-11a+10）x²-（a-1）x+2對一切實數x恒為正值，
則必有△=（a-1）²+8（a²-11a+10）＜0，又a＜1或a＞10，
解得a∈∅．
綜上可知：實數a的取值范圍是1≤a＜9．
故選D．
點評：熟練掌握三個“二次”與判別式△的關系是解題的關鍵．