Question

已知數列{

an

pn-1

}的前n項和S_n=n²+2n（其中常數p＞0），數列{a_n}的前n項和為T_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求T_n的表達式；
（Ⅲ）若對任意n∈N^*，都有(1-p)Tn+pan≥2pn恒成立，求p的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n-S_n-1可得數列{

an

pn-1

}的通項公式，從而得a_n；
（Ⅱ）由通項a_n寫出前n項和T_n的表達式并計算結果；
（III）討論p=1時，p≠1時，不等式是否成立．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=3；
當n≥2時，

an

pn-1

=S_n-S_n-1=2n+1，得a_n=（2n+1）p^n-1；
又因為n=1也滿足上式，所以a_n=（2n+1）p^n-1；
（Ⅱ）∵T_n=3+5p+7p²+…+（2n+1）p^n-1，
①當p=1時，T_n=3+5+7+…+（2n+1）=n²+2n；
②當p≠1時，由T_n=3+5p+7p²+…+（2n+1）p^n-1得
pT_n=3p+5p²+7p³+…+（2n-1）p^n-1+（2n+1）pⁿ，
∴（1-p）T_n=3+2（p+p²+p³+…+p^n-1）-（2n+1）pⁿ，
∴T_n=

3

1-p

+

2p(1-pn-1)

(1-p)2

-

1

1-p

（2n+1）pⁿ．
綜上，當p=1時，T_n=n²+2n；
當p≠1時，T_n=

3

1-p

+

2p(1-pn-1)

(1-p)2

-

1

1-p

（2n+1）pⁿ．
（ III）①當p=1時，顯然對任意n∈N^*，都有（1-p）T_n+pa_n≥2pⁿ恒成立；
②當p≠1時，可轉化為對任意n∈N^*，都有3+

2p(1-pn-1)

1-p

≥2pⁿ恒成立．
即對任意n∈N^*，都有

3-p

1-p

≥

4-2p

1-p

pⁿ恒成立．
當0＜p＜1時，只要

3-p

4-2p

≥p成立，解得：0＜p＜1；
當1＜p＜2時，只要

3-p

4-2p

≤pⁿ 對任意n∈N^*恒成立，
只要有

3-p

4-2p

≤pⁿ對任意n∈N^*恒成立，
只要有

3-p

4-2p

≤p成立，解得：1＜p≤

3

2

；
當p≥2時，不等式不成立．
綜上，實數p的取值范圍為（0，

3

2

]．

點評：本題考查了等差、等比數列的綜合應用以及數列與不等式的綜合應用問題，其中（Ⅰ）是基礎題，（Ⅱ）是中檔題，（Ⅲ）是難題．