Question

（本小題共14分）
如圖所示多面體中，AD⊥平面PDC，ABCD為平行四邊形，E，F分別為AD，BP的中點，AD=，AP=，PC=.

（Ⅰ）求證：EF∥平面PDC；
（Ⅱ）若∠CDP＝90°，求證BE⊥DP;
（Ⅲ）若∠CDP＝120°，求該多面體的體積.

Answer 1

（1）、（2）見解析；（3）.

（18）解（Ⅰ）取PC的中點為O，連FO,DO，
∵F,O分別為BP，PC的中點，
∴∥BC，且,
又ABCD為平行四邊形,∥BC，且,
∴∥ED，且
∴四邊形EFOD是平行四邊形          --------------------------------2分
即EF∥DO  又EF平面PDC  
∴EF∥平面PDC．           ------------------------------------------- 4分
（Ⅱ）若∠CDP＝90°,則PD⊥DC，
又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD,                      --------------------------------- 6分
∵BE平面ABCD，
∴BE⊥DP                             -------------------------------- 8分
（Ⅲ）連結AC,由ABCD為平行四邊形可知與面積相等，
所以三棱錐與三棱錐體積相等，
即五面體的體積為三棱錐體積的二倍.
∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4
又∠CDP＝120°PC=2，
由余弦定理并整理得, 解得DC=2   ------------------- 10分
∴三棱錐的體積
∴該五面體的體積為                         -------------------- 12分