Question

給出下面的數表序列：

表1	表2	表3	…
1	1   3	1   3   5
	4	4   8
		12

其中表n（n=1，2，3，…）有n行，第1行的n個數是1，3，5，…，2n-1，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和．
（1）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表n（n≥3）（不要求證明）；
（2）每個數表中最后一行都只有一個數，它們構成數列1，4，12，…，記此數列為{b_n}，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）利用給出的規律即可得出表4，進而得到每一行的平均數，即可判斷出是否出等比數列，并按其規律進行推廣．
（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一個數為bn=n•2n-1．利用“錯位相減法”即可得出數列{b_n}的前n項和．

解答：解：（1）表4為
1    3    5    7
4    8   12
12  20
32
它的第1，2，3，4行中的數的平均數分別是4，8，16，32，它們構成首項為4，公比為2的等比數列．
將這一結論推廣到表n（n≥3），
表n的第1行是1，3，5，…，2n-1，其平均數是

1+3+5+…+(2n-1)

n

=n．
即表n（n≥3）各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為n，公比為2的等比數列．
（2）由（1）知，表n中最后一行的唯一一個數為bn=n•2n-1．
設S_n=b₁+b₂+…+b_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1  ①
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ  ②
由①-②得，-Sn=1+21+22+…+2n-1-n•2n，
整理，得Sn=(n-1)•2n+1．

點評：正確理解題意和熟練掌握等比數列的定義及其前n項和公式、“錯位相減法”、平均數的計算公式等是解題的關鍵．