Question

（2010•肇慶二模）已知等差數列{a_n}的各項均為正數，a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

對一切n∈N*都成立．

Answer 1

分析：（1）因為數列{a_n}為等差數列，所以只要求出首項與公差，就可以求出通項公式，同樣，因為數列{a_n}為等比數列，所以只要求出首項與公比，就可以求出通項公式，然后根據a₁=3，前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．尋找含a1，d，b1，q的關系式，求出a1，d，b1，q即可．
（2）由（1）中所求數列{a_n}的首項與公差，代入等差數列的前n項和公式，求出S_n，再計算

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，最后用放縮法即可證明．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d（d＞0），{b_n}的公比為q，
則

b2S2=q(6+d)=64 b3S3=q2(9+3d)=960

解得

d=2 q=8

或

d=- 6 5 q= 40 3

（舍）   
所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，n∈N^*，
b_n=8^n-1，n∈N^*．
（2）因為S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×3

+

1

2×4

+

1

3×5

+…+

1

n(n+2)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．
故

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜

3

4

對一切n∈N*都成立．

點評：本題考查了等差等比數列通項公式的求法，以及放縮法比較大小．