Question

【題目】已知定義在（﹣1，1）上的奇函數f（x），在x∈（﹣1，0）時，f（x）=2x+2﹣x．

（1）求f（x）在（﹣1，1）上的表達式；

（2）用定義證明f（x）在（﹣1，0）上是減函數；

（3）若對于x∈（0，1）上的每一個值，不等式m2xf（x）＜4x﹣1恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）m≥0

【解析】

試題分析：（1）根據函數的奇偶性求出f（x）的表達式即可；（2）根據函數的單調性的定義證明函數的單調性即可；（3）問題掌握，根據函數的單調性求出m的范圍即可

試題解析：（1）由f（x）是定義在（﹣1，1）上的奇函數，得f（0）=0，

設x∈（0，1），則﹣x∈（﹣1，0），

所以f（﹣x）=﹣f（x）=2x+2﹣x，f（x）=﹣（2x+2﹣x）

故…

（2）設x1，x2是（﹣1，0）上任意兩個實數，且x1＜x2，

，

∵，f（x1）﹣f（x2）＞0，

所以f（x）在x∈（﹣1，0）是減函數．…

（3）由m2xf（x）＜4x﹣1，

化簡得，

因為x∈（0，1），4x+1∈（2，5），

所以，

故m的取值范圍m≥0．…