已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax2－ln x.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當a＝
時，證明：方程f(x)＝f 
在區(qū)間(2，＋∞)上有唯一解．
（1）單調(diào)遞減區(qū)間為
，單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）見解析
【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－
＝
.
∵a>0，令f′(x)>0得x>
；令f′(x)<0，得0<x<
，
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)證明：當a＝
時，f(x)＝
x2－ln x，由(1)知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，
令g(x)＝f(x)－f 
，則g(x)在區(qū)間(2，＋∞)單調(diào)遞增且g(2)＝f(2)－f 
<0，g(e2)＝
－2－
＋ln
>0，
故方程f(x)＝f 
在區(qū)間(2，＋∞)上有唯一解．
狀元及第系列答案
同步奧數(shù)系列答案科目：高中數(shù)學 來源：2014年高考數(shù)學理復習方案二輪作業(yè)手冊新課標·通用版專題七練習卷（解析版） 題型：選擇題
已知某隨機變量X的概率密度函數(shù)為P(x)＝
則隨機變量X落在區(qū)間(1，2)內(nèi)的概率為( )
A．e2＋e B.
C．e2－e D. 
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科目：高中數(shù)學 來源：2014年高考數(shù)學文復習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集8講練習卷（解析版） 題型：解答題
已知函數(shù)f(x)＝2
sin xcos x＋2cos2x＋m在區(qū)間
上的最大值為2.
(1)求常數(shù)m的值；
(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f(A)＝1，sin B＝3sin C，△ABC的面積為
，求邊長a.
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科目：高中數(shù)學 來源：2014年高考數(shù)學文復習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集7講練習卷（解析版） 題型：填空題
如圖所示的是函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤
)的部分圖像，其中A，B兩點之間的距離為5，那么f(－1)＝________．
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科目：高中數(shù)學 來源：2014年高考數(shù)學文復習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集7講練習卷（解析版） 題型：選擇題
函數(shù)f(x)＝sin x－cos
的值域為( )
A．[－2，2] B．[－
，
] C．[－1，1] D. 
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科目：高中數(shù)學 來源：2014年高考數(shù)學文復習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集6講練習卷（解析版） 題型：選擇題
設函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，對任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，則( )
A．3f(ln 2)>2f(ln 3) B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)
C．3f(ln 2)<2f(ln 3) D．3f(ln 2)與2f(ln 3)的大小不確定
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科目：高中數(shù)學 來源：2014年高考數(shù)學文復習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集6講練習卷（解析版） 題型：選擇題
函數(shù)f(x)＝2lnx＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)在點(b，f(b))處的切線斜率的最小值是( )
A．2
B．2 C.
D．1
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科目：高中數(shù)學 來源：2014年高考數(shù)學文復習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集5講練習卷（解析版） 題型：選擇題
函數(shù)f(x)＝ln x－
(x>1)的零點所在的區(qū)間為( )
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學 來源：2014年高考數(shù)學文復習二輪作業(yè)手冊新課標·通用版限時集3A講練習卷（解析版） 題型：選擇題
若A為不等式組
表示的平面區(qū)域，則當實數(shù)a從－2連續(xù)變化到0時，動直線x＋y＝a掃過A中部分的區(qū)域的面積為( )
A.
B.
C．2 D．1
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