Question

設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=4^x-2^x+1-b（b∈R），
（1）若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）當(dāng)函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并求出函數(shù)的零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）原函數(shù)零點(diǎn)即方程）=4^x-2^x+1-b=0 的根．化簡(jiǎn)可得 b=4^x-2^x+1=（2^x-1）²-1≥-1，由此可得b的范圍．
（2）分①當(dāng)b=-1 時(shí)，②當(dāng) 0＞b＞-1 時(shí)，③當(dāng)b≥0時(shí)，④當(dāng)b＜-1時(shí)四種情況，分別由條件求得2^x 的值，求得x的值，從而得出結(jié)論．

解答：解：（1）原函數(shù)零點(diǎn)即方程）=4^x-2^x+1-b=0 的根．
化簡(jiǎn)方程為b=4^x-2^x+1=2^2x-2•2^x=（2^x-1）²-1≥-1，
故當(dāng)b的范圍為[-1，+∞）時(shí)函數(shù)存在零點(diǎn)．
（2）①當(dāng)b=-1 時(shí)，2^x=1，∴方程有唯一解x=0．
②當(dāng) 0＞b＞-1 時(shí)，∵（2^x-1）²=1+b＞0，可得 2^x=1+

1+b

，或2^x=1-

1+b

，
解得 x=log2(1+

1+b

)，或x=log2(1-

1+b

)，故此時(shí)方程有2個(gè)解．…（9分）
③當(dāng)b≥0時(shí)，∵（2^x-1）²=1+b＞1，可得 2^x=1+

1+b

，或2^x=1-

1+b

（舍去），
解得 x=log2(1+

1+b

)，故此時(shí)方程有唯一解．
④當(dāng)b＜-1時(shí)，∵（2^x-1）²=1+b＜0，2^x 無(wú)解，原方程無(wú)解．
綜上可得，1）當(dāng)-1＜b＜0時(shí)原方程有兩解：x=log2(1+

1+b

)，或x=log2(1-

1+b

)；
2）當(dāng) b≥0 時(shí)，方程有唯一解 x=log2(1+

1+b

)，當(dāng)b=-1 時(shí)，原方程有唯一解 x=0；
3）當(dāng)b＜-1 時(shí)，原方程無(wú)解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．