Question

（本小題滿分12分）
數列的前n項和為，且（）．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若數列滿足：（），求數列的通項公式；
（Ⅲ）設（），是否存在實數，使得當時，恒成立？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

(1)
(2) （
(3) 存在實數，使得（）恒成立，且

解：（Ⅰ）當時，，
當時，，知滿足該式，
∴數列的通項公式為． 2分
（Ⅱ）   （）  ①
∴（）  ②
①－②得：（）．
∴（），   4分
當時，，，滿足上式．
∴數列的通項公式（） 6分
（Ⅲ）存在實數．  7分
，假設存在，使得（）恒成立，
∴，
∴
即， 8分
①當為正偶數時，即恒成立，
∴，
當時，，∴．   10分
②當為正奇數時，恒成立，
∴，
當時，，∴．
綜上，存在實數，使得（）恒成立，且．  12分